Sadaļas

Miljons dolāru par matemātikas uzdevumu: Latviete iztamborē formulas

Cilvēces vēsturē vairākas reizes bijuši brīži, kad licies – viss ir atklāts un izpētīts. Viens no tādiem bija 19. un 20. gadsimta mijā, kad likās, ka fizikā vairs nav ko darīt, ka palikuši vien nenozīmīgi “sīkumi”. Pagāja daži gadi, un Alberta Einšteina relativitātes teorija apgrieza pasauli kājām gaisā. Izrādījās, ka kustībā esošs pulkstenis rit lēnāk! Tagad mēs saprotam, ka patiesībā par Visuma uzbūvi zinām pavisam maz, ka pastāv mīklas, par kurām vēl labākajā gadījumā tikai nojaušam. Visai strīdīgā padomju laiku filozofiskā mācība “dialektiskais materiālisms” apgalvo, ka “izziņas process ir bezgalīgs”, un šai ziņā tai var piekrist. Proti, kamēr vien pastāvēs cilvēce, tai pavērsies aizvien jauni, vēl neizpētīti horizonti.

Daudzas neizprastas parādības meklējamas nevis kosmosa tālēs vai atoma kodolā, bet gan tepat blakām, burtiski mūsu acu priekšā. Viens piemērs: lodveida zibens, kuru dažam lasītājam varbūt būs laimējies redzēt. Cik var noprast, tā ir stabila, ilglaicīga plazmas veida struktūra, kaut kas līdzīgs “šķidram zibenim”. Tomēr, neskatoties uz visiem mēģinājumiem, zinātniekiem līdz šim nav izdevies iegūt lodveida zibeni laboratorijas apstākļos vai izstrādāt šīs parādības teorētisku modeli. Likmes patiesībā ir ļoti augstas, jo lodveida zibens problēmas atrisinājums varētu pavērt ceļu uz vadāmās kodoltermiskās reakcijas realizāciju.

Neizpētītā matemātika

Varētu teikt: “Nu labi, fizikā mums ir darīšana ar Dieva radīto pasauli. Mēģināt izprast fizikas likumsakarības patiesībā ir tas pats, kas mēģināt pa kripatai atšifrēt paša Radītāja plānu. Nu bet “zinātņu karaliene” matemātika, tur taču visam vajadzētu būt izzinātam!”

Tomēr joprojām pastāv strīds, vai matemātika vispār ir zinātne, un ne jau velti matemātikā nepiešķir Nobela prēmiju. Patiešām, matemātika vairāk līdzinās intelektuālai spēlei. Līdzīgi kā šahā figūrām nosaka iespējamos gājienus, tā matemātiskā teorijā definē pieņēmumus jeb aksiomas, uz kuru pamata tālāk būvē aizvien sarežģītākas prāta konstrukcijas. Piemēram, Pitagora teorēmas (taisnleņķa trīsstūrī hipotenūzas kvadrāts līdzinās katešu kvadrātu summai) pierādījuma pamatā ir aksioma, ka divas uz plaknes novilktas paralēlas taisnes nekad nekrustojas.

Kā izrādās, matemātikā pastāv simtiem joprojām nepierādītu apgalvojumu un hipotēžu. Dažas ir šķietami vienkāršas, taču tās vēl nav izdevies pierādīt tā, kā pieņemts matemātikā, tas ir, loģisku, neapstrīdamu spriedumu ceļā. Piemēram, joprojām nav atrisināts šāds uzdevums no “iepakošanas problēmu” sērijas: “Dota sfēra ar rādiusu R. Vai pastāv vienādi apļi ar rādiusu R, ar kuriem var noklāt sfēras virsmu tā, ka katrs no tiem saskaras ar visiem kaimiņiem?” Kā redzams, jautājums ir par iespēju maksimāli blīvi noklāt sfēras virsmu, kas ir visai praktiska problēma.

Pat skaitļu ass, parastais lineāls sevī slēpj elpu aizraujošus noslēpumus. Mēs nevaram savā prātā iztēloties, kas atrodas “aiz” telpas un laika robežām, mēs nespējam iedomāties bezgalību, turklāt abos virzienos – gan Visuma plašumos, gan pavisam mikroskopiskos mērogos. Mani vienmēr ir fascinējis skaitlis π, kas apraksta riņķa garumu: C= 2πr.

Skaitlis π vienlaikus ir iracionāls un transcendents. Tas nozīmē, ka to nevar uzrakstīt precīzi, tas ir neperiodisks daļskaitlis, bezgalīga skaitļu virkne 3, 1415926535… Mūsdienās matemātiķi ar datora palīdzību ieguvuši π vērtību ar 10 triljoniem cipariem aiz komata. Bet skaitlis π atrodas uz skaitļu ass, tepat mūsu acu priekšā, kaut kur rajonā starp 3,14 un 3,15. Mēs pat varam tam pieskarties, nobraucot ar pirkstu pa lineālu, bet mēs nekādi nevaram uz to norādīt precīzi. Tas ir un reizē it kā nav, vismaz mūsu sajūtām un iztēlei π nav pieejams. Vai tas nav brīnums?

Patiesībā matemātiskus brīnumus katrs var konstruēt dažu minūšu laikā. Piemēram, Mēbiusa lenti, kas ir vienkāršākais vienpusējas virsmas piemērs. To var viegli izgatavot no taisnstūrveida papīra lok-
snes, vienu tās galu pagriežot par 180° un tad salīmējot abus loksnes galus kopā. Par to, ka šādam objektam ir tikai viena puse jeb viena virsma, var viegli pārliecināties, ar pirkstu braucot pa to – tas apceļos visu loksni un nonāks sākotnējā punktā, nešķērsojot tās malu. Uz šāda objekta nokļuvušai skudrai varētu likties, ka pasaulei nav ne gala, ne malas.

Tūkstošgades uzdevumi

Neparasti, ka lielu praktisko labumu devuši atklājumi, par kuriem savulaik šķitis, ka tie ir tikai tāda zinātnieku spēlēšanās ar abstraktām idejām. Pirms simt gadiem par skaitļu teoriju interesējās vien daži, kā mēdz teikt, “pusjukuši profesori”. Šodien neviena ieeja internetbankā, neviens kredītkartes maksājums neiztiek bez datu šifrēšanas, kuras pamatā ir atklājumi skaitļu teorijā.

Ja jau reiz matemātikā netiek pasniegta Nobela prēmija, tad, lai sekmētu tās attīstību, laiku pa laikam tiek izsludinātas naudas prēmijas par kādas vēl nepieveiktas problēmas atrisinājumu. 2000. gadā ASV bāzētais Kleja Matemātikas institūts izvēlējās septiņas no tām un izsludināja vienu miljonu dolāru atlīdzību par katra uzdevuma atrisinājumu.

To starpā bija arī tā saucamā Puankarē hipotēze, ko franču matemātiķis Anrī Puankarē izvirzīja 1900. gadā, bet kas joprojām nebija pierādīta. Tā skan šādi: uz trīs, četru un vairāku dimensiju objektiem bez caurumiem var attiecināt to pašu īpašību, kas raksturīga sfēriskiem divdimensiju objektiem, proti, ja uz to virsmas uzzīmē noslēgtu līkni, tad to var savilkt vienā punktā.

Piemēram, uz futbola bumbas novilkta slēgta līnija ir savelkama, bet gadījumā, ja objektam ir caurums kā barankai vai autoriepai, tas ne vienmēr ir iespējams. Bumbu vai baranku mēs spējam iztēloties, bet kā lai iztēlojas 4, 5 un vairāku dimensiju priekšmetus? To spēj tikai ģēnijs.

Miljons nav vajadzīgs

Padzirdējis par prēmiju, pie darba ķērās Pēterburgā dzīvojošais krievu matemātiķis Grigorijs Pereļmans, kurš jau bija pazīstams ar vairākiem ģeniāliem atklājumiem un klusībā meklēja arī Puankarē problēmas atrisinājumu. Pēc divu gadu intensīva darba Pereļmans internetā publicēja trīs garus rakstus, kuri, kā viņš pats apgalvoja, saturot gadsimtu ilgi meklēto risinājumu. Tomēr pierādījums bija tik sarežģīts, ka pārbaudei tika izveidotas vairākas neatkarīgas matemātiķu grupas. Pēc vairāku gadu darba tās atzina, ka Pereļmana pierādījums ir nevainojams, un Kleja institūts jau gatavojās pasniegt matemātiķim čeku par vienu miljonu dolāru.

Pa šo laiku uzradās vairāki matemātiķi, kuri centās pierādīt, ka Pereļmans savā pierādījumā izmantojis viņu idejas, un sāka pretendēt uz daļu no balvas. Viss beidzās ar to, ka Pereļmans atteicās saņemt viņam piešķirto prēmiju, tā piesaistot milzīgu dzeltenās preses uzmanību. Izskanēja pat apgalvojums, ka, atsakoties no miljona, “neviens nav tā reklamējis matemātiku kā Pereļmans”. Situāciju vēl neparastāku padarīja ziņas, ka matemātiķi, kuri pārbaudīja Pereļmana pierādījumu, paši honorāros bija sadalījuši vairākus miljonus dolāru. Šodien matemātiķis dzīvo kopā ar māti nelielā divistabu dzīvoklītī Pēterburgā un vada savas dienas, klausoties klasisko mūziku, pārtiekot vien no maizes, piena, siera un augļiem un nodarbojoties ar matemātiku. Vienīgais, kas viņu traucējot, esot uzmācīgie žurnālisti.

Latviete iztamborē formulas

Visai neparastu problēmu, ap kuru matemātiķi ilgu laiku nesekmīgi lauzīja galvu, izdevās atrisināt latviešu matemātiķei, agrākajai Latvijas Universitātes, tagadējai Kornela universitātes ASV matemātikas profesorei Dainai Taimiņai. Proti, viņa pirmā grafiski attēloja tā saucamās hiperboliskās plaknes, turklāt nevis vienkārši attēloja, bet notamborēja!

Līdz tam matemātiķiem šie neeiklīda ģeometrijas objekti – hiperboliskās plaknes – pastāvēja vien kā abstraktu formulu rindas. Ar tamboradatas palīdzību Dainas Taimiņas rokās formulas pārvēršas pasakainos koraļļu dārzos, ko veido teiksmaini, kallām līdzīgi ziedi. Skaidrs, ka kaut kas tāds varēja ienākt prātā tikai tamborēšanas speciālistam, tātad visdrīzāk sievietei. Šodien Dainas Taimiņas notamborētie objekti atrodas arī vairākos modernās mākslas muzejos visā pasaulē, bet 2009. gadā viņas grāmata “Tamborēšanas piedzīvojumi ar hiperboliskajām plaknēm” (“Crocheting Adventures with Hyperbolic Planes”) pat ieguva īpašu starptautisku balvu “par dīvaināko grāmatas nosaukumu”.

Atgriežoties pie mūsu iespējām izzināt pasauli, kas ir pats komplicētākais jautājums, ko cilvēks spēj sev uzdot? Tas droši vien nav “kāds es esmu”’, jo uz to atbildi meklē dabas zinātnes. Un tas nav arī “kas es esmu”, jo ar to nodarbojas psihiatrija un sociālās zinātnes. Vissarežģītākais jautājums, uz kuru cilvēks neatbildēs nekad: “kāpēc es vispār esmu”.

Raksta autors: Juris Lorencs

Attēls: fibercollege.wordpress.com

Avots: la.lv

Brīvpieejas materiāls. Pārpublicēt atļauts tikai ievērojot ŠOS NOTEIKUMUS.